Как множить степени, умножение степеней с разными показателями

 как множить степени, умножение степеней с разными показателями

Для решения вопроса нам потребуется следующее: Ручка Лист бумаги Калькулятор

Итак приступаем к решению вопроса, нам предстоит сделать следующее.

Каждая арифметическая операция порой становится слишком громоздкой для записи и ее стараются упростить. Когда-то так было и с операцией составления. Людям было необходимо проводить многоразовое однотипное добавление, например, сосчитать стоимость ста персидских ковров, стоимость которого составляет 3 золотые монеты за каждый. Приходилось записывать 3 + 3 + 3 + … + 3 = 300. Через громоздкость было придумано сократить запись до 3 100 = 300. Фактически, запись «три помножить на сто» означает, что нужно взять сто троек и составить между собой. Умножения прижилось, нашло общую популярность. Но мир не стоит на месте, и в средних столетиях возникшая необходимость проводить многоразовое однотипное умножение. Припоминается старая индийская загадка о мудреце, попросивши в награду за выполненную работу пшеничные зерна в таком количестве: за первую клетку шахматной доски он просил одно зерно, за другу - два, третий - четыре, пятый - восемь и так далее. Так появилось первое умножение степеней, ведь количество зерен равнялось двойке в степени номера клетки. Например, на последней клетке было бы 2 2 2 … 2 = 2 63 зерен, которая равняется числу длиной в 18 знаков, в чем, собственно, и кроется сенсзагадки.

Операция возведения в степень прижилась довольно быстро, также быстро возникшая необходимость проводить добавление, отнимание, деление и умножение степеней. Последнее и следует рассмотреть более подробно. Формулы для составления степеней простые и легко запоминаются. К тому же, очень легко понять, откуда они берутся, если операцию мири заменить умножениям. Но сначала нужно разобраться в элементарной терминологии. Выражение a b (читается «а в степени b») означает, что число a нужно помножить само на себя b раз, причем «a» называется основанием степени, а «b» - степенным показателем. Если основания степеней одинаковые, то формулы выводятся совсем просто. Конкретный пример: найти значение выражения 2 3 2 4. Чтобы знать, что должно выйти, нужно перед началом решения узнать ответ на компьютере. Забив данное выражение в будь онлайн-калькулятор, пошуковик, набравши "умножение степеней с разными основаниямии одинаковыми" или математический пакет, на выходе выйдет 128. Теперь распишем данное выражение: 2 3 = 2 2 2, а 2 4 = 2 2 2 2. Значит, что 2 3 2 4 = 2 2 2 2 2 2 2 = 2 7 = 2 ( 3 + 4) . Значит, что произведение степеней с одинаковым основанием одно основы, сведенному в степень, равную сумме двух попереднихступенив.

Можно подумать, что это случайность, но нет: любой другой пример сможет лишь подтвердить данное правило. Таким образом, в общем виде формула выглядит следующим чином: a n a m = a (n + m). Также существует правило, что любое число в нулевой степени равняется единице. Здесь нужно вспомнить правило негативных степеней: a (-n) = 1 / a n. То есть, если 2 3 = 8, то 2 (- 3) = 1/8. Используя это правило можно довести справедливость равенства a 0 = 1: a 0 = a (nn) = a n a (-n) = a (n ) 1/ a (n), a (n) можно сократить и остается единица. Отсюда выводится и то правило, которое частное степеней с основаниями одно этого основанию в степени, равный частному показателя делимого и делителя: a n: a m = a (nm). Пример: упростить выражение 2 3 2 5 2 (- 7) 2 0: 2 (- 2). Умножение есть коммутативной операцией, ведь сначала нужно провести добавление показателей умножения: 2 3 2 5 2 (- 7 ) 2 0 = 2 ( 3 + 5 - 7 + 0) = 2 1 = 2. Дальше нужно разобраться с распределением на негативную степень. Необходимо отнять показатель делителя из показателя делимого: 2 1: 2 (- 2) = 2 ( 1 - (- 2)) = 2 ( 1 + 2) = 2 3 = 8. Оказывается, операция деления на негативную степень тождественная операции умножение на аналогичный положительный показатель. Таким образом, окончательный ответ равняется 8.

Существуют примеры, где имеет место не каноническое умножение степеней. Перемножить степени с разными основаниями очень часто бывает намного сложнее, а временами и вообще невозможно. Нужно привести несколько примеров разных возможных приемов. Пример: упростить выражение 3 7 9 (- 2) 81 3 243 (- 2) 729. Очевидно, имеет место умножения степеней с разными основаниями. Но, следует отметить, что все основания являются разными степенями тройки. 9 = 3 2, 1 = 3 4, 3 = 3 5, 9 = 3 6. Используя правило (a n) m = a (n m), нужно переписать выражение в более удобном виде: 3 7 ( 3 2 ) (- 2) ( 3 4) 3 ( 3 5) (- 2) 3 6 = 3 7 3 (- 4) 3 ( 12) 3 (- 10) 3 6 = 3 ( 7 - 4 + 12 - 10 + 6) = 3 ( 11). Ответ: 3 11. В случаях, когда разные основания, на уровне показатели работает правило a n b n = (a b) n. Например, 3 3 7 3 = 21 3. В другом, когда разные основания и показатели, сделать полное умножение можно. Иногда можно частично упростить или обратиться к помощи вычислительной техники